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Espérance

Ce que rapporte une grille, en moyenne

L'espérance de gain est la somme, sur tous les rangs, de la probabilité de gagner multipliée par le gain. Au Loto, la probabilité ne dépend pas de la grille. Le gain, si : la plupart des rangs sont partagés entre les gagnants.

M_r est la masse du rang (le jackpot, ou une part des mises), X_r le nombre d'autres gagnants, λ_r(g) son espérance, donnée par le modèle de la foule. On fait la moyenne exacte sur toutes les combinaisons gagnantes possibles (220 pour 4 bons numéros, 9 460 pour 3).

Trois enseignements. Une grille moyenne de joueur rend environ 59 % de sa mise à jackpot ordinaire : jouer coûte de l'argent. Les grilles peu jouées rendent nettement plus, pour exactement les mêmes chances de gagner. Et lors des gros reports, leur espérance peut dépasser la mise : c'est mathématiquement vrai, mais la probabilité de gagner le jackpot reste de 1 sur 19 068 840, plus de 3 grilles sur 4 ne rapportent rien, et presque tout le reste ne rapporte que quelques euros. Une espérance positive n'est pas une promesse de gain.