Oui, une même combinaison peut sortir deux fois, et c'est déjà arrivé. Depuis le 6 octobre 2008, sur 2 902 tirages, deux combinaisons de 5 numéros sont sorties deux fois chacune : 6-19-20-22-34 et 9-23-28-35-37. Loin d'être une anomalie, c'est presque exactement ce que le calcul prévoit : environ 2,2 répétitions attendues sur cette période.
Ce que montre l'historique
Nous avons comparé entre elles toutes les combinaisons de 5 numéros tirées au Loto depuis le passage à la formule actuelle (5 numéros sur 49 et un numéro chance), le 6 octobre 2008. Cela représente 2 902 tirages : 2 830 tirages réguliers et 72 tirages spéciaux. Résultat :
| Combinaison | Première sortie | Seconde sortie | Écart |
|---|---|---|---|
| 6-19-20-22-34 | 12 mai 2012 (chance 5) | 8 septembre 2018 (chance 10) | près de 6 ans et 4 mois |
| 9-23-28-35-37 | 24 janvier 2018 (chance 5) | 28 août 2023 (chance 7) | 5 ans et 7 mois |
Dans les deux cas, le numéro chance était différent. Aucune combinaison complète (5 numéros et numéro chance) n'est sortie deux fois depuis 2008.
Si l'on ajoute les 1 096 seconds tirages organisés depuis novembre 2019, on trouve trois coïncidences de plus entre un tirage principal et un second tirage : 7-11-18-21-42, 5-6-13-21-43 et 4-6-29-31-45. En revanche, aucune combinaison n'est sortie deux fois au second tirage lui-même.
Pourquoi c'est moins rare qu'on le croit : le paradoxe des anniversaires
Une probabilité de 1 sur 1 906 884 semble si petite qu'une répétition paraît impossible en quelques milliers de tirages. L'erreur vient de la question que l'on se pose.
Prenons un exemple célèbre. Dans une classe de 23 élèves, quelle est la probabilité que deux élèves aient le même jour d'anniversaire ? On a tendance à répondre « très faible », car 23 est petit devant 365. La bonne réponse est 50,7 %. La raison : on ne cherche pas quelqu'un né un jour précis, on cherche n'importe quelle paire d'élèves qui coïncide. Or avec 23 élèves, on peut former 253 paires différentes. C'est ce qu'on appelle le paradoxe des anniversaires.
Le Loto fonctionne de la même manière, avec 1 906 884 « jours » possibles au lieu de 365.
Le calcul pour le Loto
Avec 2 902 tirages, on peut former 2 902 × 2 901 / 2 = 4 209 351 paires de tirages. Chaque paire a 1 chance sur 1 906 884 de donner la même combinaison de 5 numéros. Le nombre moyen de répétitions attendu est donc :
4 209 351 / 1 906 884 ≈ 2,21
On s'attendait à environ 2 répétitions ; on en observe 2. Le calcul exact donne aussi la probabilité d'observer au moins une répétition sur cette période : 89,0 %. Ne trouver aucun doublon aurait été plus surprenant (11,0 % de chances environ) que d'en trouver deux (environ 27 %).
Quelques repères tirés du même calcul :
| Question | Réponse |
|---|---|
| Nombre de tirages pour avoir une chance sur deux d'au moins une répétition | 1 627 tirages, soit une dizaine d'années à trois tirages par semaine |
| Répétitions attendues sur 2 902 tirages (5 numéros) | 2,2 |
| Répétitions attendues en comptant aussi le numéro chance (19 068 840 combinaisons) | 0,22 |
| Répétitions attendues en ajoutant les 1 096 seconds tirages (3 998 tirages) | 4,2, pour 5 observées |
Les observations collent au calcul dans tous les cas. On peut aussi vérifier les coïncidences partielles : depuis 2008, 499 paires de tirages ont eu au moins 4 numéros en commun, pour 488 attendues.
Le même calcul pour l'ancien Loto (6 numéros sur 49, 13 983 816 combinaisons) donne, sur 4 901 tirages entre 1976 et 2008, 0,86 répétition attendue. Aucune n'a eu lieu, ce qui arrivait environ 4 fois sur 10 : là encore, rien d'anormal.
Deux questions qu'il ne faut pas confondre
Le paradoxe des anniversaires répond à la question : « est-ce que deux tirages quelconques vont coïncider un jour ? ». La réponse est oui, assez vite.
Mais si vous vous demandez : « la combinaison sortie samedi dernier va-t-elle ressortir au prochain tirage ? », la réponse est 1 chance sur 1 906 884, comme pour n'importe quelle autre combinaison. Le tirage n'a pas de mémoire. Une combinaison déjà sortie n'est ni « usée » ni « favorite ». Elle ne devient pas plus probable, et pas moins probable non plus.
C'est pourquoi éviter les combinaisons déjà sorties ne sert à rien du point de vue des chances. Il n'est pas utile non plus de les rechercher.
Les deux combinaisons répétées le montrent d'ailleurs bien. Entre leur première et leur seconde sortie, 6-19-20-22-34 et 9-23-28-35-37 n'ont rien eu de particulier : à chacun des centaines de tirages intermédiaires, elles avaient 1 chance sur 1 906 884 de ressortir, ni plus ni moins que les autres. Leur répétition n'annonçait rien et ne prolonge rien. Elle est simplement l'une des coïncidences que le calcul rendait probables quelque part dans l'historique, sans pouvoir dire où.
Et pour vos gains ?
Il y a un détail à garder en tête. Si des joueurs cochent volontairement d'anciennes combinaisons gagnantes, alors une combinaison déjà sortie qui ressortirait verrait son gain partagé avec tous ceux qui ont eu la même idée. Nous ne disposons pas de mesure directe de ce comportement, mais il illustre un point général : le choix d'une grille n'agit pas sur la probabilité de gagner, seulement sur le nombre de personnes avec qui l'on partagerait.
Quelle que soit la combinaison, l'espérance de gain d'une grille reste inférieure à la mise de 2,20 €.
À retenir
- Oui, une combinaison peut sortir deux fois : c'est arrivé pour 6-19-20-22-34 (2012 et 2018) et 9-23-28-35-37 (2018 et 2023).
- C'est exactement ce que prévoit le paradoxe des anniversaires : environ 2,2 répétitions attendues sur 2 902 tirages.
- Une combinaison donnée garde 1 chance sur 1 906 884 de ressortir à chaque tirage, qu'elle soit déjà sortie ou non.
- Pour comprendre d'où vient le nombre 1 906 884, voir l'article sur le calcul des combinaisons ; les autres tests de l'historique sont sur la page audit du hasard.
