Le Loto compte 19 068 840 combinaisons différentes. Il y a 1 906 884 façons de choisir 5 numéros parmi 49, et chacune peut être associée à l'un des 10 numéros chance : 1 906 884 × 10 = 19 068 840. Ce nombre se calcule avec un outil classique des mathématiques, le coefficient binomial, que l'on présente ici sans prérequis.
Première étape : compter dans l'ordre
Imaginez que vous cochez vos numéros un par un, en notant l'ordre dans lequel vous les choisissez.
- Pour le premier numéro, vous avez 49 possibilités.
- Pour le deuxième, il n'en reste que 48, puisqu'on ne peut pas cocher deux fois le même.
- Pour le troisième, 47 ; pour le quatrième, 46 ; pour le cinquième, 45.
Le nombre de façons de choisir 5 numéros dans un ordre précis est donc :
49 × 48 × 47 × 46 × 45 = 228 826 080
Deuxième étape : l'ordre ne compte pas
Sur une grille de Loto, l'ordre n'a aucune importance : cocher 7 puis 23 ou 23 puis 7 donne la même grille. Or notre premier calcul a compté chaque grille plusieurs fois, une fois pour chaque ordre possible de ses 5 numéros.
Combien d'ordres possibles pour 5 numéros donnés ? Le premier peut être choisi de 5 façons, le deuxième de 4, et ainsi de suite :
5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
Ce produit s'écrit 5! (« factorielle 5 »). Chaque grille a donc été comptée 120 fois. Il suffit de diviser :
228 826 080 ÷ 120 = 1 906 884
Il y a 1 906 884 façons de choisir 5 numéros parmi 49.
Le coefficient binomial
Ce raisonnement a un nom : le coefficient binomial, noté C(n, k) ou « k parmi n ». Il compte le nombre de façons de choisir k éléments parmi n, sans tenir compte de l'ordre. Sa formule générale est :
C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!)
Pour le Loto, n = 49 et k = 5. Les termes de 44! s'annulent en haut et en bas, et il reste exactement le calcul fait plus haut : (49 × 48 × 47 × 46 × 45) ÷ 120.
Un petit exemple pour vérifier que la méthode fonctionne : combien de façons de choisir 2 numéros parmi 4 (1, 2, 3, 4) ? Dans l'ordre : 4 × 3 = 12. Chaque paire est comptée 2 fois (1-2 et 2-1). Il reste 12 ÷ 2 = 6 paires, et on peut les énumérer : 1-2, 1-3, 1-4, 2-3, 2-4, 3-4. Le compte est bon.
Troisième étape : le numéro chance
Le numéro chance est choisi à part, parmi 10. Il est indépendant des 5 autres numéros. Chacune des 1 906 884 combinaisons de 5 numéros peut donc être associée à 10 numéros chance différents :
1 906 884 × 10 = 19 068 840
Une seule de ces 19 068 840 grilles correspond au tirage complet : c'est pourquoi la probabilité de gagner le jackpot est de 1 sur 19 068 840. Le détail des autres rangs est dans notre article sur la probabilité de gagner au Loto.
Pour se représenter ce nombre : si l'on remplissait une grille par seconde, jour et nuit, il faudrait environ 221 jours pour écrire toutes les combinaisons possibles.
Comparaison avec l'ancien Loto et EuroMillions
Le même outil permet de compter les combinaisons d'autres jeux.
L'ancien Loto (6 numéros sur 49), en vigueur jusqu'en 2008, ne comportait pas de numéro chance. Le nombre de combinaisons était C(49, 6) :
(49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44) ÷ (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 13 983 816
EuroMillions fait choisir 5 numéros parmi 50, puis 2 étoiles parmi 12. On multiplie deux coefficients binomiaux :
C(50, 5) = 2 118 760
C(12, 2) = 66
2 118 760 × 66 = 139 838 160
| Jeu | Calcul | Combinaisons |
|---|---|---|
| Second tirage du Loto (5 sur 49) | C(49, 5) | 1 906 884 |
| Ancien Loto (6 sur 49) | C(49, 6) | 13 983 816 |
| Loto actuel (5 sur 49 + 1 chance sur 10) | C(49, 5) × 10 | 19 068 840 |
| EuroMillions (5 sur 50 + 2 étoiles sur 12) | C(50, 5) × C(12, 2) | 139 838 160 |
Le Loto actuel compte environ 1,36 fois plus de combinaisons que l'ancien 6 sur 49. EuroMillions en compte 7,33 fois plus que le Loto actuel. Les probabilités de chaque rang d'EuroMillions sont détaillées dans cet article.
Une remarque sur les étoiles
Pourquoi C(12, 2) = 66 et non 12 × 11 = 132 ? Pour la même raison que plus haut : tirer l'étoile 3 puis l'étoile 8 donne la même paire que 8 puis 3. On divise donc 132 par 2.
Ce que ce calcul ne dit pas
Le nombre de combinaisons donne la probabilité de chaque grille si le tirage est équitable, c'est-à-dire si toutes les combinaisons ont la même chance de sortir. C'est ce que confirme notre audit du hasard sur les tirages réels : aucun numéro n'est favorisé.
Il ne dit pas en revanche comment les joueurs répartissent leurs grilles parmi ces 19 millions de possibilités. Et là, la répartition est très inégale : certaines combinaisons sont jouées par des milliers de personnes, d'autres presque par personne. Cela ne change pas vos chances de gagner, mais cela change le montant de vos gains, puisque la plupart des rangs sont partagés entre les gagnants. C'est ce qu'étudie notre modèle de la foule.
Pour aller plus loin dans le calcul, la probabilité d'avoir exactement 3 ou 4 bons numéros repose elle aussi sur des coefficients binomiaux : c'est la loi hypergéométrique.
À retenir
- C(49, 5) = 1 906 884 : le nombre de façons de choisir 5 numéros parmi 49, sans tenir compte de l'ordre.
- On l'obtient en comptant dans l'ordre (49 × 48 × 47 × 46 × 45), puis en divisant par les 120 ordres possibles de 5 numéros.
- Avec le numéro chance : 19 068 840 combinaisons, donc 1 chance sur 19 068 840 de gagner le jackpot.
- Ancien Loto : 13 983 816 combinaisons ; EuroMillions : 139 838 160.
- Toutes les combinaisons ont la même probabilité ; elles ne sont pas toutes jouées par le même nombre de personnes.
