Personne ne publie les grilles jouées au Loto. En revanche, la FDJ publie après chaque tirage le nombre de gagnants de chaque rang, et ces nombres trahissent les choix des joueurs : quand la combinaison tirée contient des numéros populaires, il y a plus de gagnants. En analysant 3 998 tirages et seconds tirages depuis octobre 2008, notre modèle estime la popularité de chacune des 1 906 884 combinaisons possibles de 5 numéros. Il ne dit rien des numéros qui vont sortir.
L'idée : le nombre de gagnants trahit les choix
Prenons le tirage du 4 novembre 2026 : 18, 19, 30, 37, 40, numéro chance 5. Si toutes les grilles avaient été remplies au hasard, on aurait attendu environ 426 gagnants à 4 bons numéros sans le numéro chance. Il y en a eu 317. À 3 bons numéros sans le numéro chance, on aurait attendu 18 337 gagnants au hasard ; il y en a eu 13 805.
Ce déficit n'a rien d'accidentel. Cette combinaison contient surtout des numéros de 30 à 40, que les joueurs cochent peu. Moins de grilles les contiennent, donc moins de grilles gagnent. Notre modèle, qui connaît ces préférences, prédisait 285 gagnants à 4 bons et 13 780 à 3 bons, bien plus près de la réalité.
Un tirage isolé ne prouve rien. Mais avec des milliers de tirages, chacun avec ses 9 rangs (et les 4 rangs du second tirage depuis novembre 2019), on peut remonter aux préférences : quels numéros attirent, quelles formes de grilles reviennent, quels numéros chance sont choisis.
Deux populations : les grilles Flash et les grilles choisies
Le modèle suppose que les grilles d'un tirage viennent de deux populations.
- Une part notée φ (« phi ») de grilles qui se comportent comme du hasard pur : les grilles Flash, remplies par le terminal, et toutes celles qu'on ne distingue pas du hasard.
- Une part 1 − φ de grilles choisies par les joueurs, selon leurs préférences.
Le modèle estime φ à 0,389 : environ 39 % des grilles se comportent comme des grilles tirées au hasard. Les 61 % restants portent les préférences.
En formule, la probabilité qu'une grille jouée soit la grille g avec le numéro chance c s'écrit :
P(g, c) = φ × (hasard) + (1 − φ) × Pθ(g) × q(c)
où Pθ(g) est la part des grilles choisies qui sont exactement g, et q(c) la part des grilles choisies qui portent le numéro chance c.
Ce qui rend une grille populaire
Pour les grilles choisies, le modèle donne à chaque numéro un « attrait », puis corrige par des motifs que les numéros seuls n'expliquent pas. Une grille est d'autant plus jouée que ses numéros sont attirants et qu'elle présente certains motifs.
L'attrait des numéros
Exprimé par rapport à un numéro moyen (×1), l'attrait va du simple au double :
| Plus attirants | Attrait | Moins attirants | Attrait |
|---|---|---|---|
| 7 | ×1,55 | 36 | ×0,68 |
| 12 | ×1,50 | 35 | ×0,69 |
| 13 | ×1,46 | 32 | ×0,70 |
| 11 | ×1,44 | 34 | ×0,72 |
| 9 | ×1,37 | 40 | ×0,72 |
Les huit numéros les plus attirants sont tous inférieurs à 20 ; les huit moins attirants sont tous au-delà de 30. Les dates de naissance et d'anniversaire laissent clairement leur trace.
Les motifs
Chaque motif multiplie la popularité d'une grille, à attrait des numéros égal :
| Motif | Effet |
|---|---|
| Suite arithmétique parfaite (5-10-15-20-25…) | ×6,79 |
| Grille entière de mois (tous les numéros ≤ 12) | ×6,22 |
| Grille entière de dates (tous les numéros ≤ 31) | ×2,25 |
| Au moins trois numéros consécutifs | ×1,52 |
| Numéros de même chiffre des unités, par numéro au-delà du premier | ×1,07 |
| Étendue (écart entre le plus petit et le plus grand), par tranche de 10 | ×0,90 |
| Numéros de la même dizaine, par numéro au-delà du premier | ×0,86 |
| Paires de numéros consécutifs, par paire | ×0,62 |
Les effets se multiplient. Une grille de dates qui forme aussi une progression cumule ×2,25 et ×6,79, en plus de l'attrait de ses numéros.
Le numéro chance
Parmi les grilles choisies, le 7 est de loin le numéro chance préféré (17,4 %), le 10 et le 1 les moins choisis (6,2 % et 6,4 %). Au hasard, chacun aurait 10 %. Nous y revenons dans Choisir son numéro chance.
En tout, le modèle compte 68 paramètres : 49 attraits, 8 motifs, la part φ et 10 numéros chance.
Le calcul exact sur 1,9 million de combinaisons
Pour comparer le modèle aux gagnants d'un tirage, il faut savoir, pour la combinaison tirée D, quelle part des grilles choisies partage exactement 5, 4, 3, 2, 1 ou 0 numéro avec elle. En principe, cela demande de parcourir les 1 906 884 combinaisons pour chacune des 3 998 observations, et de recommencer à chaque étape de l'ajustement. Beaucoup trop long.
Nous utilisons une identité de comptage. On calcule une fois, en un seul passage sur les 1 906 884 combinaisons, la part des grilles qui contiennent chaque numéro, chaque paire, chaque triplet et chaque quadruplet de numéros : 49 + 1 176 + 18 424 + 211 876 = 231 525 « marges ». Pour un tirage donné, il suffit ensuite d'additionner les marges de ses sous-ensembles : 5 numéros, 10 paires, 10 triplets, 5 quadruplets et la combinaison entière, soit 31 lectures.
Ces sommes donnent le nombre moyen de paires, de triplets, etc., que les grilles partagent avec D. Une formule d'inversion classique en tire la part exacte des grilles à k bons numéros :
T(j) = somme des marges des sous-ensembles de j numéros de D
m(k) = Σ pour j ≥ k de (−1)^(j−k) × C(j, k) × T(j)
Aucune approximation ni simulation : le résultat est exact. La même astuce, appliquée en sens inverse, donne la direction dans laquelle corriger les paramètres.
Comment le modèle s'ajuste
Pour chaque tirage et chaque rang, le modèle prédit un nombre moyen de gagnants : le nombre de grilles jouées N, multiplié par la probabilité qu'une grille gagne ce rang. Il compare ensuite à l'observé.
- Le nombre de grilles jouées n'est pas publié tirage par tirage : il est estimé pour chaque tirage, en même temps que le reste.
- Les écarts tolérés suivent une loi binomiale négative : une loi de comptage qui accepte des fluctuations un peu plus larges que le pur hasard, car les habitudes varient d'un tirage à l'autre.
- La prudence : chaque paramètre est légèrement rappelé vers « aucun effet » (un a priori gaussien). Un effet n'est retenu que si les données l'imposent.
- L'optimisation se fait par une méthode numérique standard (L-BFGS), et le modèle est réajusté chaque semaine avec les nouveaux tirages.
Un modèle qui s'ajuste bien aux données passées peut se tromper sur les suivantes. Nous le testons donc sur des tirages qu'il n'a pas vus : voir Comment nous validons le modèle.
Les limites
- Il ne prédit pas les tirages. Les boules n'ont ni mémoire ni préférence ; notre audit du hasard ne détecte aucun écart. Le modèle décrit les joueurs, pas les boules.
- Des effets manquent : rejouer la combinaison du dernier tirage, dessiner une forme sur le bulletin, jouer des grilles multiples.
- Les grilles très dessinées (1-2-3-4-5, diagonales, etc.) sont probablement encore plus jouées que ce que le modèle estime. Elles sortent rarement, donc les données les contraignent peu, et l'a priori modère les effets extrêmes.
- Toute estimation a une marge d'erreur. Une popularité estimée à ×3 n'est pas exactement ×3.
À retenir
- Le nombre de gagnants de chaque rang, publié après chaque tirage, révèle indirectement les grilles jouées.
- Environ 39 % des grilles se comportent comme du hasard ; les autres suivent des préférences mesurables : numéros de dates, motifs, numéro chance 7.
- Le calcul est exact sur les 1 906 884 combinaisons, grâce aux marges de sous-ensembles.
- Le modèle estime ce que jouent les autres. Il ne change pas vos chances de gagner, qui restent les mêmes pour toutes les grilles. Le détail technique est sur la page Le modèle de la foule.
