Non, équilibrer pairs et impairs n'augmente pas vos chances de gagner. Les tirages qui comptent 2 ou 3 numéros pairs sont effectivement les plus fréquents, mais uniquement parce qu'ils représentent environ 65 % de toutes les combinaisons possibles. Une grille équilibrée et une grille entièrement impaire ont exactement la même probabilité de sortir : 1 chance sur 1 906 884 pour les 5 numéros.
Le conseil et son origine
On lit souvent qu'une « bonne » grille doit mélanger pairs et impairs, par exemple 2 pairs et 3 impairs, et qu'il faut éviter les grilles toutes paires ou toutes impaires, qui « ne sortent jamais ». Le constat de départ est juste : les tirages déséquilibrés sont rares. La conclusion, elle, ne suit pas.
Le décompte exact
Parmi les numéros de 1 à 49, il y a 24 numéros pairs (2, 4, …, 48) et 25 numéros impairs (1, 3, …, 49). On peut compter exactement combien de combinaisons de 5 numéros contiennent 0, 1, 2… numéros pairs. Par exemple, pour 2 pairs et 3 impairs, il faut choisir 2 pairs parmi 24 (276 façons) et 3 impairs parmi 25 (2 300 façons), soit 276 × 2 300 = 634 800 combinaisons.
En faisant le même calcul pour chaque cas, puis en le comparant aux 2 830 tirages réguliers depuis octobre 2008 :
| Numéros pairs dans le tirage | Combinaisons possibles | Part théorique | Tirages observés | Part observée |
|---|---|---|---|---|
| 0 (tout impair) | 53 130 | 2,8 % | 77 | 2,7 % |
| 1 | 303 600 | 15,9 % | 472 | 16,7 % |
| 2 | 634 800 | 33,3 % | 919 | 32,5 % |
| 3 | 607 200 | 31,8 % | 911 | 32,2 % |
| 4 | 265 650 | 13,9 % | 401 | 14,2 % |
| 5 (tout pair) | 42 504 | 2,2 % | 50 | 1,8 % |
Les tirages suivent fidèlement la théorie. Le test statistique donne une p-valeur de 0,47, ce qui signifie que les écarts observés sont parfaitement ordinaires pour un tirage équitable. Sur l'ancien Loto à 6 numéros (1976-2008), le même test donne 0,30. Le détail de ces vérifications est sur la page audit du hasard.
Pourquoi ce tableau ne justifie pas d'équilibrer
Le tableau dit que les tirages « 2 ou 3 pairs » sortent environ deux fois sur trois. Il est tentant d'en déduire qu'une grille à 2 ou 3 pairs gagne deux fois sur trois plus souvent. Mais ce n'est pas votre grille qui sort deux fois sur trois : c'est l'une des 1 242 000 combinaisons de cette catégorie.
Faisons le calcul pour une grille équilibrée, puis pour une grille toute impaire :
Grille à 2 pairs : 33,3 % (le tirage a 2 pairs) × 1/634 800 (c'est la vôtre) = 1 sur 1 906 884
Grille tout impaire : 2,8 % (le tirage est tout impair) × 1/53 130 (c'est la vôtre) = 1 sur 1 906 884
Le résultat est identique. La catégorie « tout impair » sort rarement, mais quand elle sort, votre grille n'est en concurrence qu'avec 53 130 combinaisons. La catégorie « 2 pairs » sort souvent, mais votre grille y est l'une des 634 800. Les deux effets se compensent exactement, et c'est toujours le cas, quel que soit le critère : parité, somme, dizaines ou numéros consécutifs.
Ainsi, 1-3-5-7-9 a la même probabilité que 2-15-28-33-41. Et 2-4-6-8-10 aussi.
Une comparaison peut aider. Dans un jeu de 52 cartes, tirer une carte rouge ou une carte noire est également probable. Pourtant, une main de cinq cartes « équilibrée » (deux rouges, trois noires) sort bien plus souvent qu'une main entièrement rouge. Ce n'est pas que chaque main équilibrée soit plus probable : c'est qu'il en existe beaucoup plus. Les tirages du Loto obéissent exactement à la même logique.
Un critère qui ne sert pas non plus à filtrer
Une variante du conseil consiste à « éliminer » les grilles déséquilibrées pour concentrer ses chances sur les autres. Cela ne change rien non plus : si vous jouez une grille, vous avez 1 chance sur 1 906 884 de trouver les 5 bons numéros, quel que soit l'ensemble dans lequel vous l'avez choisie. Écarter des combinaisons ne rend pas les autres plus probables.
Les joueurs équilibrent-ils leurs grilles ?
La question plus intéressante est celle de la popularité. Au Loto, la plupart des gains sont partagés entre les gagnants d'un même rang. Une catégorie de grilles plus jouée que les autres conduirait donc à des gains plus partagés.
Le modèle de la foule de Roboloto estime la popularité de chaque grille à partir du nombre de gagnants publié à chaque tirage (1 = aussi jouée qu'une grille tirée au hasard). En faisant la moyenne par nombre de numéros pairs, on obtient :
| Numéros pairs | Part des combinaisons | Part estimée des grilles jouées | Popularité moyenne estimée |
|---|---|---|---|
| 0 | 2,8 % | 3,5 % | 1,25 |
| 1 | 15,9 % | 17,3 % | 1,08 |
| 2 | 33,3 % | 33,1 % | 1,00 |
| 3 | 31,8 % | 30,5 % | 0,96 |
| 4 | 13,9 % | 13,4 % | 0,96 |
| 5 | 2,2 % | 2,3 % | 1,02 |
Les écarts sont modestes. Les grilles entièrement impaires sont un peu plus jouées que la moyenne, sans doute parce que plusieurs des numéros que le modèle estime les plus cochés sont impairs (7, 13, 11, 9). Mais la parité, à elle seule, n'est pas un critère qui distingue fortement les grilles très jouées des grilles peu jouées. D'autres caractéristiques pèsent beaucoup plus, comme la présence de petits numéros ou les motifs réguliers (suites, progressions). Ces chiffres sont des estimations et comportent une part d'incertitude.
Quelle que soit la répartition choisie, l'espérance de gain d'une grille reste inférieure à sa mise de 2,20 €.
À retenir
- Les tirages à 2 ou 3 numéros pairs sont fréquents (environ 65 %) parce qu'ils regroupent environ 65 % des combinaisons.
- Chaque grille, équilibrée ou non, a exactement 1 chance sur 1 906 884 pour les 5 numéros.
- Les tirages depuis 2008 suivent exactement la répartition théorique (p-valeur 0,47).
- Côté popularité, la parité compte peu ; ce sont surtout les petits numéros et les motifs réguliers qui rendent une grille très jouée. L'outil d'analyse estime la popularité d'une grille précise, et l'article sur la somme des numéros applique le même raisonnement.
