Non, viser une somme autour de 125 n'augmente pas vos chances. Il est vrai que la plupart des tirages ont une somme comprise entre 100 et 150. Mais c'est simplement parce que cette zone contient la majorité des combinaisons possibles : chaque grille, prise individuellement, garde exactement 1 chance sur 1 906 884 de sortir, que sa somme soit 21, 125 ou 220.
D'où vient le chiffre de 125
Additionnez les cinq numéros d'un tirage : vous obtenez un nombre compris entre 15 (1+2+3+4+5) et 235 (45+46+47+48+49). En moyenne, chaque numéro tiré vaut 25 (le milieu entre 1 et 49), donc la somme moyenne vaut 5 × 25 = 125.
Depuis octobre 2008, la somme moyenne observée sur les 2 830 tirages réguliers est de 124,63. Cela colle parfaitement à la théorie.
La distribution exacte
On peut compter exactement combien des 1 906 884 combinaisons mènent à chaque somme. Le résultat a la forme d'une cloche : très peu de combinaisons aux extrémités, beaucoup au milieu. Une seule combinaison donne 15 (1-2-3-4-5), une seule donne 235, alors que 24 342 combinaisons donnent exactement 125.
En regroupant les sommes par tranches, voici la comparaison avec les tirages réels :
| Somme des 5 numéros | Combinaisons possibles | Part des combinaisons | Part des tirages depuis 2008 |
|---|---|---|---|
| 15 à 74 | 91 747 | 4,8 % | 5,2 % |
| 75 à 94 | 217 281 | 11,4 % | 10,5 % |
| 95 à 114 | 393 228 | 20,6 % | 21,7 % |
| 115 à 134 | 479 161 | 25,1 % | 25,1 % |
| 135 à 154 | 400 783 | 21,0 % | 20,5 % |
| 155 à 174 | 226 066 | 11,9 % | 12,0 % |
| 175 à 235 | 98 618 | 5,2 % | 5,1 % |
Les deux dernières colonnes sont presque identiques. Le test statistique complet, sur des tranches de 10, donne une p-valeur de 0,83 : la répartition des sommes est exactement celle d'un tirage équitable. Les détails sont sur la page audit du hasard.
Pourquoi la cloche ne dit rien sur votre grille
C'est le cœur du malentendu. La cloche décrit des catégories de grilles, pas des grilles.
La tranche 115-134 sort souvent (25,1 % des tirages) parce qu'elle contient 479 161 combinaisons différentes. Si vous jouez une grille dont la somme est 125, vous ne jouez pas toute la tranche : vous jouez une seule de ces 479 161 combinaisons.
Le calcul se fait en deux étapes. Prenons une grille de somme comprise entre 100 et 150, une zone qui contient 1 122 994 combinaisons, soit 58,9 % du total :
Probabilité que la somme du tirage tombe entre 100 et 150 : 58,9 %
Probabilité que ce soit votre grille, parmi les 1 122 994 de la zone : 1 sur 1 122 994
Produit : 0,589 / 1 122 994 = 1 sur 1 906 884
On retombe exactement sur la probabilité de n'importe quelle grille. Pour une grille de somme 21, la zone est minuscule mais le tirage y tombe rarement ; pour une grille de somme 125, la zone est vaste mais votre grille y est noyée parmi des centaines de milliers d'autres. Les deux effets se compensent toujours exactement.
Le même raisonnement vaut pour la taille d'une ville : il est plus probable qu'un Français tiré au hasard habite une grande ville qu'un village, mais un habitant précis d'une grande ville n'a pas plus de chances d'être tiré qu'un habitant précis d'un village.
Les sommes extrêmes sortent aussi
Les sommes éloignées de 125 sont rares en tant que catégorie, mais elles sortent. Le 18 janvier 2016, le tirage 1-2-3-5-10 a donné une somme de 21. Le 1er décembre 2014, le tirage 40-43-44-48-49 a donné 224. Ces deux tirages avaient exactement la même probabilité que n'importe quel tirage de somme 125.
Ce que la somme indique vraiment : la popularité
La somme n'agit pas sur vos chances, mais elle est liée à autre chose : la façon dont les autres joueurs remplissent leurs grilles. Les joueurs cochent plus volontiers les petits numéros, notamment ceux qui peuvent correspondre à des dates : notre modèle détecte une nette préférence pour les grilles composées uniquement de numéros de 1 à 31, et plus encore de 1 à 12. Petits numéros veut dire petite somme.
Le modèle de la foule de Roboloto estime la popularité de chaque grille : 1 signifie « aussi jouée qu'une grille tirée au hasard », 2 « deux fois plus jouée ». En moyenne, par tranche de somme :
| Somme des 5 numéros | Popularité moyenne estimée |
|---|---|
| 15 à 74 | 2,34 |
| 75 à 94 | 1,48 |
| 95 à 114 | 1,06 |
| 115 à 134 | 0,89 |
| 135 à 154 | 0,77 |
| 155 à 174 | 0,69 |
| 175 à 235 | 0,61 |
Ce sont des estimations, avec leur incertitude, et des moyennes : à l'intérieur de chaque tranche, certaines grilles sont beaucoup plus jouées que d'autres. Mais la tendance est nette. Une grille à petite somme sortirait en moyenne avec davantage de gagnants pour partager les gains.
Le 18 janvier 2016 en donne une illustration : la combinaison 1-2-3-5-10 a fait 17 gagnants à 5 bons numéros sans le numéro chance, payés 11 710,50 € chacun. Le samedi précédent, ce même rang avait fait 3 gagnants payés 113 287,80 € chacun.
La somme reste un indicateur grossier. Si la popularité de votre grille vous intéresse, l'outil d'analyse l'estime directement, numéro par numéro et motif par motif. Et dans tous les cas, l'espérance de gain d'une grille reste inférieure à la mise de 2,20 €.
À retenir
- La somme moyenne d'un tirage est 125, et 58,9 % des combinaisons ont une somme entre 100 et 150.
- Les tirages réels suivent exactement cette distribution (p-valeur 0,83).
- Une grille de somme 125 n'a pas plus de chances qu'une autre : 1 sur 1 906 884 pour les 5 numéros.
- Les petites sommes signalent surtout des grilles plus jouées, donc des gains plus partagés en cas de victoire.
- Même logique pour l'équilibre pairs-impairs, traité dans l'article pairs et impairs.
