L'espérance d'une grille de Loto dépasse sa mise de 2,20 € seulement quand le jackpot est très élevé : pour une grille au hasard, à partir d'environ 25 millions d'euros selon les calculs de Roboloto. Depuis novembre 2019, 39 tirages ordinaires sur 1 096 ont affiché un jackpot de 20 M€ ou plus, et 9 seulement 25 M€ ou plus. Même ces soirs-là, la probabilité de gagner est inchangée et la quasi-totalité des joueurs perd sa mise.
L'espérance, en deux minutes
L'espérance est ce qu'une grille rapporte en moyenne, si l'on imaginait rejouer le même tirage un très grand nombre de fois. On la calcule en multipliant chaque gain possible par sa probabilité, puis en additionnant.
Un exemple simplifié : un jeu où l'on gagne 10 € une fois sur 5, et rien sinon, a une espérance de 10 × 1/5 = 2 €. Si la mise est de 2,20 €, on perd en moyenne 0,20 € par partie.
Au Loto, le calcul est plus long, car il y a neuf rangs, un second tirage, et surtout des gains partagés : la plupart des sommes sont divisées entre les gagnants. Roboloto en tient compte grâce à son estimation du nombre de grilles jouées et de leur répartition. Les bases du calcul sont expliquées dans l'article sur l'espérance de gain au Loto.
Le tableau selon le jackpot
Voici l'espérance d'une grille pour un samedi type, selon le jackpot annoncé. Trois cas sont comparés :
- une grille tirée au hasard (comme une grille Flash) ;
- une grille « moyenne » choisie par la foule des joueurs ;
- des grilles parmi les moins jouées, sélectionnées par Roboloto.
| Jackpot | Grilles attendues | Grille au hasard | Grille moyenne de la foule | Grilles peu jouées |
|---|---|---|---|---|
| 2 M€ | 4 517 880 | 1,20 € | 1,16 € | 1,52 € |
| 5 M€ | 5 068 778 | 1,34 € | 1,29 € | 1,67 € |
| 10 M€ | 5 529 718 | 1,56 € | 1,50 € | 1,92 € |
| 15 M€ | 5 818 545 | 1,78 € | 1,71 € | 2,16 € |
| 20 M€ | 6 032 574 | 2,00 € | 1,92 € | 2,41 € |
| 25 M€ | 6 203 996 | 2,22 € | 2,13 € | 2,65 € |
| 30 M€ | 6 347 667 | 2,44 € | 2,33 € | 2,90 € |
La mise est de 2,20 €. On lit donc :
- grille au hasard : l'espérance reste sous la mise jusqu'à 20 M€ (2,00 €) et la dépasse à peine à 25 M€ (2,22 €) ;
- grille moyenne de la foule : il faut aller au-delà de 25 M€ (2,13 €) pour dépasser la mise ;
- grilles peu jouées : le seuil est franchi entre 15 M€ (2,16 €) et 20 M€ (2,41 €), parce qu'en cas de gain le partage est plus faible.
Au jackpot médian depuis novembre 2019, 5 M€, une grille au hasard rend en moyenne 1,34 € pour 2,20 € joués. La page espérance par jackpot détaille ces valeurs.
Combien de tirages sont concernés ?
Sur les 1 096 tirages ordinaires du Loto depuis le 6 novembre 2019 :
| Jackpot annoncé | Tirages | Part des tirages | Jackpot remporté |
|---|---|---|---|
| 20 M€ et plus | 39 | 3,6 % | 11 fois |
| 25 M€ et plus | 9 | 0,8 % | 3 fois |
| 30 M€ | 1 | 0,1 % | 1 fois |
Le seul tirage à 30 M€ a eu lieu le samedi 4 décembre 2021. Il a été remporté par un gagnant unique. Autrement dit, les tirages où l'espérance d'une grille ordinaire dépasse la mise se comptent sur les doigts des deux mains en sept ans.
Pourquoi « espérance supérieure à la mise » ne veut pas dire « bonne affaire »
La probabilité ne change pas
À 30 M€ comme à 2 M€, une grille a une chance sur 19 068 840 de trouver les cinq numéros et le numéro chance. Si vous aviez joué une grille à chacun des 39 tirages à 20 M€ ou plus depuis 2019, votre probabilité de remporter au moins une fois le jackpot aurait été d'environ 2 sur un million (39 / 19 068 840, soit environ 1 chance sur 489 000).
L'espérance repose sur un événement presque impossible
À 30 M€, une part considérable de l'espérance vient du seul jackpot. En négligeant les détails, une grille au hasard en retire environ :
30 000 000 / 19 068 840 ≈ 1,57 € sans partage
≈ 1,34 € une fois le partage pris en compte
Sur les 2,44 € d'espérance, plus de la moitié provient donc d'un événement qui a une chance sur 19 millions de se produire. Le reste vient surtout des petits gains. Concrètement, ce soir-là comme les autres :
- au tirage principal, environ 5 grilles sur 6 ne gagnent rien ;
- plus de la moitié des grilles gagnantes du tirage principal touchent le rang 9, c'est-à-dire le simple remboursement de 2,20 € ;
- les autres gains, second tirage compris, sont pour l'essentiel de quelques euros.
La variance est énorme
Les statisticiens appellent variance la dispersion des résultats autour de la moyenne. Au Loto, elle est gigantesque : la moyenne de 2,44 € est la combinaison d'une perte presque certaine et d'un gain colossal presque impossible. Pour que la moyenne se réalise vraiment dans votre portefeuille, il faudrait jouer un nombre de grilles comparable aux 19 millions de combinaisons, ce qui est hors de portée et changerait d'ailleurs le partage. Pour un joueur réel, qui joue quelques grilles, l'espérance ne dit presque rien de ce qu'il va vivre : il perdra sa mise ou presque dans l'immense majorité des cas.
Ce sont des estimations
Ces espérances dépendent du nombre de grilles jouées et des habitudes des joueurs, tous deux estimés par un modèle. Un samedi plus joué que prévu, ou une combinaison tirée plus populaire que la moyenne, réduit les gains partagés. Les ordres de grandeur sont solides, les décimales le sont moins. La notion est approfondie dans l'article sur l'espérance positive.
Ce qu'il faut en faire
Rien de spectaculaire. Un gros jackpot n'est pas une raison de jouer plus de grilles : chaque grille supplémentaire reste, pour vous, une mise presque certainement perdue. Si vous jouez de toute façon, le seul levier sans coût est de choisir une grille moins jouée que la moyenne, qui ne gagne pas plus souvent mais partage moins quand elle gagne. Et si le jeu cesse d'être un plaisir, prenez le temps de lire notre page jeu responsable.
À retenir
- Pour une grille au hasard, l'espérance dépasse la mise de 2,20 € à partir d'environ 25 M€ de jackpot (2,22 €).
- Depuis novembre 2019, 39 tirages sur 1 096 ont atteint 20 M€ et 9 ont atteint 25 M€.
- La probabilité de gagner le jackpot reste de 1 sur 19 068 840, quel que soit son montant.
- À 30 M€, plus de la moitié de l'espérance vient du jackpot seul : une moyenne qu'aucun joueur ne connaîtra.
- Une espérance supérieure à la mise n'est jamais une raison de jouer davantage.
