L'espérance de gain est ce qu'une grille rapporte en moyenne, sur un très grand nombre de tirages. Pour une grille moyenne de joueur, misée 2,20 €, elle est d'environ 1,29 € lorsque le jackpot est de 5 millions d'euros (le jackpot médian depuis 2019) : on perd en moyenne 0,91 € par grille. Elle augmente avec le jackpot et, parce que les gains sont partagés, elle dépend aussi de la grille jouée.
La définition, avec un exemple simple
Prenons un jeu imaginaire. Vous payez 1 € et lancez un dé. Si vous faites 6, vous recevez 4 €. Sinon, rien.
Sur 6 parties, vous ferez 6 en moyenne une fois. Vous aurez dépensé 6 € et récupéré 4 €. En moyenne, chaque partie vous rapporte donc :
1/6 × 4 € = 0,67 €
C'est l'espérance de gain : la somme, pour chaque issue possible, de sa probabilité multipliée par le gain correspondant. Ici, l'espérance (0,67 €) est inférieure à la mise (1 €) : en moyenne, chaque partie coûte 0,33 €.
Pour le Loto, le principe est identique, avec simplement plus de lignes à additionner : une par rang de gain.
Espérance = Σ (probabilité du rang × gain du rang)
Premier calcul, rang par rang
Le rang 9 (0 ou 1 bon numéro et le bon numéro chance) rembourse 2,20 €. Sa probabilité est de 1 sur 10,8. Il apporte donc :
2,20 € ÷ 10,8 ≈ 0,20 €
Le jackpot, s'il n'était jamais partagé, apporterait pour un jackpot de 5 M€ :
5 000 000 € ÷ 19 068 840 ≈ 0,26 €
Les rangs 2 à 8 et le second tirage n'ont pas de montant fixe. Depuis novembre 2019, chacun reçoit une part des mises (une « masse »), divisée entre ses gagnants. Nous avons mesuré ces masses sur les tirages des deux dernières années :
| Rang | Masse par grille jouée | Gain moyen par gagnant (ordre de grandeur) |
|---|---|---|
| 2 (5 bons numéros) | 0,047 € | très variable |
| 3 (4 bons + chance) | 0,012 € | environ 1 000 € |
| 4 (4 bons numéros) | 0,042 € | environ 400 € |
| 5 (3 bons + chance) | 0,025 € | environ 50 € |
| 6 (3 bons numéros) | 0,089 € | environ 20 € |
| 7 (2 bons + chance) | 0,069 € | environ 10 € |
| 8 (2 bons numéros) | 0,273 € | environ 4,40 € |
| Second tirage, 4 rangs | 0,286 € au total | environ 1,80 € pour 2 bons numéros, 18 € pour 3 |
La dernière colonne s'obtient en divisant la masse par la probabilité du rang : c'est le montant moyen que touche un gagnant quand les gagnants sont « normalement » nombreux. Pour le rang 2, beaucoup plus rare, les rapports varient énormément : depuis 2019, ils sont allés de 3 884,60 € à 334 701,10 €.
En additionnant les ordres de grandeur, on obtient pour une grille à 5 M€ de jackpot : environ 0,20 € (rang 9) + 0,56 € (rangs 2 à 8) + 0,29 € (second tirage) + la part du jackpot + quelques centimes d'autres lots. Il reste à calculer correctement la part du jackpot.
Le rôle des gains partagés
Quand une grille gagne un rang partagé, elle ne touche pas toute la masse : elle la divise avec les autres gagnants. S'il y a X autres gagnants, elle reçoit 1/(1 + X) de la masse.
Or X n'est pas connu à l'avance. On sait seulement combien d'autres gagnants on attend en moyenne : c'est ce qu'on note λ (lambda). Pour une grille choisie au hasard, un samedi à 5 M€ de jackpot, on attend environ 5 068 778 grilles jouées, et donc :
λ = 5 068 778 ÷ 19 068 840 ≈ 0,27 autre gagnant attendu au rang 1
Quand le nombre de gagnants suit une loi de Poisson (le modèle classique des événements rares et nombreux), la part moyenne que l'on touche vaut :
E[1 / (1 + X)] = (1 − e^(−λ)) / λ ≈ 0,88 pour λ = 0,27
La contribution du jackpot passe donc de 0,26 € à environ 0,23 €. Au total, on arrive à environ 1,3 €. Le calcul complet de notre modèle, qui fait la moyenne exacte sur toutes les combinaisons gagnantes possibles, donne 1,34 € pour une grille au hasard.
Pourquoi l'espérance dépend de la grille
Toutes les grilles ont la même probabilité de gagner. Mais λ, le nombre attendu d'autres gagnants, dépend de la popularité de la combinaison tirée. Si vos numéros sont joués par beaucoup de monde, vous partagez davantage, à tous les rangs partagés.
Voici les espérances calculées par Roboloto pour un jackpot de 5 M€ (tirage du samedi), pour une mise de 2,20 € :
| Grille | Popularité (× une grille au hasard) | Espérance | Part de la mise |
|---|---|---|---|
| 1-2-3-4-5, chance 1 | 22,6 | 1,02 € | 47 % |
| 7-12-13-19-23, chance 7 | 3,9 | 0,96 € | 43 % |
| Grille moyenne des joueurs | 1,29 € | 59 % | |
| Grille au hasard | 1 | 1,34 € | 61 % |
| Grilles peu jouées (moyenne Roboloto) | 1,67 € | 76 % | |
| 34-35-36-39-40, chance 10 | 0,42 | 1,68 € | 76 % |
La grille 1-2-3-4-5 a les mêmes chances que les autres, mais elle est jouée environ 22,6 fois plus souvent qu'une grille au hasard : si elle sortait, ses gagnants se partageraient chaque rang avec beaucoup plus de monde. La grille 7-12-13-19-23, pourtant moins populaire, fait encore moins bien, entre autres parce que son numéro chance, le 7, est de loin le plus joué. Ces popularités sont des estimations de notre modèle de la foule, avec une marge d'incertitude ; les grilles très « dessinées » comme 1-2-3-4-5 sont probablement encore plus jouées que ce que le modèle estime. Le mécanisme est détaillé dans cet article.
Dans tous les cas de ce tableau, l'espérance reste inférieure à la mise. Choisir une grille peu jouée réduit la perte moyenne ; cela ne la supprime pas à ce niveau de jackpot, et cela n'augmente pas les chances de gagner.
Ce que l'espérance ne dit pas
L'espérance est une moyenne sur des millions de tirages. Elle ne décrit pas ce qui arrive à un joueur lors d'un tirage donné : environ 77 % des grilles ne gagnent rien, ni au premier ni au second tirage, et l'essentiel de l'espérance vient de gains rares.
Elle varie aussi avec le jackpot. Notre page espérance selon le jackpot donne les valeurs de 2 à 30 M€, et notre article sur le taux de retour du Loto les traduit en pourcentage de la mise.
À retenir
- Espérance = somme des probabilités × gains. Si elle est inférieure à la mise, le jeu coûte de l'argent en moyenne.
- Au Loto, à 5 M€ de jackpot : environ 1,29 € pour une grille moyenne, 1,34 € pour une grille au hasard, pour 2,20 € misés.
- La plupart des rangs sont partagés : une grille très jouée touche moins quand elle gagne, à probabilité égale.
- Choisir une grille peu jouée améliore l'espérance sans changer les chances ; elle reste en général inférieure à la mise.
