Une espérance positive signifie que la moyenne des gains d'une grille, calculée sur un nombre immense de répétitions, dépasse sa mise. D'après nos calculs, cela n'arrive au Loto que pour de très gros jackpots : à partir de 20 M€ environ pour des grilles peu jouées, un samedi type. Cela ne veut pas dire que vous allez gagner : la probabilité du jackpot reste de 1 sur 19 068 840, et environ 40 % de cette espérance vient de ce seul événement.
L'espérance, avec un exemple
L'espérance de gain est la somme, sur tous les rangs, de la probabilité de gagner multipliée par ce qu'on gagne. Prenons le seul rang 9 : vous avez 1 chance sur 11 environ de le gagner, et il rembourse 2,20 €. Sa contribution à l'espérance est d'environ 0,20 €. On fait la même chose pour les 8 autres rangs, le second tirage et les codes gagnants, et on additionne.
Pour la plupart des rangs, le gain dépend du nombre d'autres gagnants, car le montant est partagé. C'est pourquoi l'espérance dépend de la grille : une grille peu jouée partage moins (voir Pourquoi une grille peu jouée rapporte plus). Pour les bases du calcul, voir L'espérance de gain au Loto.
Le tableau selon le jackpot
Voici nos estimations pour un tirage du samedi, selon le jackpot annoncé. Le nombre de grilles jouées augmente avec le jackpot : il est estimé par notre modèle de ventes. La dernière colonne est la moyenne des 40 meilleures grilles peu jouées du moment.
| Jackpot | Grilles jouées (estimation) | Grille au hasard | Grille moyenne des joueurs | Grilles peu jouées |
|---|---|---|---|---|
| 2 M€ | 4,5 millions | 1,20 € (55 %) | 1,16 € (53 %) | 1,52 € (69 %) |
| 5 M€ | 5,1 millions | 1,34 € (61 %) | 1,29 € (59 %) | 1,67 € (76 %) |
| 10 M€ | 5,5 millions | 1,56 € (71 %) | 1,50 € (68 %) | 1,92 € (87 %) |
| 15 M€ | 5,8 millions | 1,78 € (81 %) | 1,71 € (78 %) | 2,16 € (98 %) |
| 20 M€ | 6,0 millions | 2,00 € (91 %) | 1,92 € (87 %) | 2,41 € (109 %) |
| 25 M€ | 6,2 millions | 2,22 € (101 %) | 2,13 € (97 %) | 2,65 € (121 %) |
| 30 M€ | 6,3 millions | 2,44 € (111 %) | 2,33 € (106 %) | 2,90 € (132 %) |
Entre parenthèses : la part de la mise de 2,20 € rendue en moyenne. Le tableau complet, mis à jour, est sur la page Espérance de gain.
Ce que cela veut dire
Lisez le tableau de haut en bas. À un jackpot ordinaire, toutes les grilles rendent nettement moins que leur mise : une grille moyenne de joueur environ 59 % à 5 M€, le jackpot médian depuis novembre 2019. Jouer coûte de l'argent.
Quand le jackpot grossit, l'espérance monte. D'après nos estimations, elle dépasse la mise :
- à partir de 20 M€ pour les grilles peu jouées ;
- à partir de 25 M€ pour une grille au hasard ;
- seulement vers 30 M€ pour une grille moyenne de joueur.
Ces tirages sont rares : depuis novembre 2019, 39 tirages sur 1 096 ont proposé un jackpot de 20 M€ ou plus, soit environ 3,6 %. Le plus gros jackpot de la période était de 30 M€. Leur liste est dans Les jackpots depuis 2019.
C'est un résultat mathématique exact sous les hypothèses du modèle. Ce n'est pas un conseil de jeu.
Ce que cela ne veut pas dire
Cela ne change pas la probabilité de gagner
Une grille a 1 chance sur 19 068 840 de gagner le jackpot, quel que soit le montant du jackpot. Environ 83 % des grilles ne gagnent rien au tirage principal. L'espérance positive ne rend aucune grille plus probable.
Presque toute la valeur tient dans un événement improbable
Prenons la grille 34-35-36-39-40 avec le numéro chance 10, la moins jouée selon le modèle, à un jackpot de 20 M€ :
| Composante | Montant |
|---|---|
| Espérance totale | 2,42 € |
| dont rang 1 (probabilité 1 sur 19 068 840) | 0,98 € |
| dont tous les autres rangs, second tirage et codes | 1,44 € |
| Mise | 2,20 € |
Environ 40 % de l'espérance vient du jackpot. Sans lui, la grille rend en moyenne 1,44 € pour 2,20 € misés : une perte de 0,76 € par grille. L'espérance positive tient donc entièrement à un événement qui n'arrive, en pratique, presque jamais.
La variance : la moyenne ne se réalise pas
Imaginons que vous jouiez cette grille à 39 tirages à 20 M€. Vous misez 85,80 €. L'espérance totale vaut environ 94 €, mais elle se décompose en environ 38 € venant du jackpot et 56 € venant de tout le reste. Or votre probabilité de gagner le jackpot au moins une fois sur ces 39 tirages est d'environ 1 sur 489 000.
Dans la très grande majorité des cas, vous ne toucherez pas le jackpot. Vous récupérerez alors en moyenne autour de 56 € pour 85,80 € misés. La moyenne de 94 € n'est pas ce qui arrive : c'est un mélange d'un résultat fréquent (une perte) et d'un résultat rarissime (une fortune).
La ruine : le long terme est hors de portée
Une espérance positive ne paie que sur un très grand nombre de répétitions. Pour avoir une chance sur deux de gagner le jackpot au moins une fois en jouant une grille par tirage, il faudrait environ 13,2 millions de tirages. Au rythme d'environ 5 à 6 tirages par an à 20 M€ ou plus, cela représente plus de deux millions d'années. Aucun budget ni aucune vie n'atteint ce « long terme ». En attendant, hors jackpot, cette grille perd en moyenne environ un tiers de ce qu'elle coûte (0,76 € sur 2,20 €).
Ce sont des estimations
- Le nombre de grilles jouées peut être plus élevé que prévu : plus de joueurs, c'est plus de partage. Notre modèle de ventes se trompe typiquement de 7 à 8 %.
- Les montants des rangs partagés sont mesurés sur les deux dernières années ; les règles et les comportements peuvent évoluer.
- La popularité des grilles est une estimation, avec une marge d'erreur.
Et l'alerte « tirage favorable » ?
Les abonnés peuvent activer une alerte facultative, envoyée quand l'espérance des grilles peu jouées dépasse la mise, c'est-à-dire lors des très gros jackpots (20 M€ environ et plus), quelques fois par an. Tout ce qui précède s'applique : une espérance positive n'est pas une promesse de gain. L'alerte rappelle que la probabilité de gagner le jackpot ne change pas et qu'il ne faut jouer que ce que l'on peut perdre. Elle n'invite pas à jouer plus de grilles.
À retenir
- Une espérance positive est une moyenne sur un nombre gigantesque de répétitions, pas une promesse.
- Selon nos estimations, elle n'apparaît qu'à partir d'environ 20 M€ de jackpot pour les grilles peu jouées, soit 39 tirages sur 1 096 depuis novembre 2019.
- Environ 40 % de cette espérance vient du jackpot, que vous n'avez qu'une chance sur 19 068 840 de gagner.
- Le Loto n'est pas un placement. Ne jouez que des sommes que vous pouvez perdre sans regret, et si le jeu devient un souci, consultez la page Jeu responsable.
