La loi hypergéométrique donne la probabilité d'avoir exactement 0, 1, 2, 3, 4 ou 5 bons numéros sur une grille de Loto. Avoir 3 bons numéros arrive une fois sur 202 environ ; 3 bons numéros sans le numéro chance (le rang 6), une fois sur 224. Dans 92,5 % des cas, une grille n'a aucun ou un seul bon numéro.
Une urne, deux couleurs
Pour comprendre cette loi, oubliez un instant le Loto et imaginez une urne contenant 49 boules. Vous en avez peint 5 en rouge : ce sont vos numéros. Les 44 autres restent blanches.
On tire 5 boules au hasard, sans remise. Combien de rouges obtient-on ? C'est exactement la question « combien de bons numéros ai-je ? ».
Le mot « hypergéométrique » désigne simplement cette situation : un tirage sans remise dans une population qui contient deux catégories d'éléments. Sans remise, car une boule tirée ne revient pas dans l'urne.
Un exemple chiffré : 3 bons numéros
Pour avoir exactement 3 bons numéros, il faut que le tirage contienne :
- 3 de vos 5 numéros : il y a C(5, 3) = 10 façons de les choisir ;
- et 2 numéros parmi les 44 que vous n'avez pas cochés : C(44, 2) = 946 façons.
Le nombre de tirages qui vous donnent exactement 3 bons numéros est donc 10 × 946 = 9 460. Il y a au total 1 906 884 tirages possibles de 5 numéros (voir le calcul des combinaisons). La probabilité est :
9 460 ÷ 1 906 884 = 0,496 %, soit 1 sur 201,6
Ensuite, le numéro chance intervient. Il est tiré à part, avec une chance sur 10 d'être le bon :
- 3 bons numéros et le bon numéro chance (rang 5) : 0,496 % × 1/10, soit 1 sur 2 016 ;
- 3 bons numéros sans le bon numéro chance (rang 6) : 0,496 % × 9/10, soit 1 sur 224.
La formule générale
Le raisonnement est le même pour n'importe quel nombre k de bons numéros :
P(k bons numéros) = C(5, k) × C(44, 5 − k) / C(49, 5)
On choisit k numéros parmi vos 5, les 5 − k restants parmi les 44 autres, et l'on divise par le nombre total de tirages.
Le tableau complet, de 0 à 5 bons numéros
| Bons numéros | Tirages favorables | Probabilité | Soit environ |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 × 1 086 008 = 1 086 008 | 56,95 % | 1 sur 1,76 |
| 1 | 5 × 135 751 = 678 755 | 35,59 % | 1 sur 2,81 |
| 2 | 10 × 13 244 = 132 440 | 6,95 % | 1 sur 14,4 |
| 3 | 10 × 946 = 9 460 | 0,496 % | 1 sur 202 |
| 4 | 5 × 44 = 220 | 0,0115 % | 1 sur 8 668 |
| 5 | 1 × 1 = 1 | 0,00005 % | 1 sur 1 906 884 |
| Total | 1 906 884 | 100 % |
Quelques enseignements :
- Le cas le plus fréquent est de n'avoir aucun bon numéro : plus d'une grille sur deux.
- 0 ou 1 bon numéro : 92,5 % des grilles. Ces grilles ne gagnent que si le numéro chance est bon (rang 9, remboursement de la mise).
- Au moins 2 bons numéros : 7,45 %, soit environ 1 sur 13,4.
- Chaque bon numéro supplémentaire rend l'événement beaucoup plus rare : on passe de 1 sur 14 pour 2 bons numéros à 1 sur 202 pour 3, puis 1 sur 8 668 pour 4.
Les deux derniers chiffres de la colonne « Soit environ » se retrouvent tels quels dans le second tirage du Loto, qui se joue sur 5 numéros sans numéro chance : 1 sur 202 pour le rang 3, 1 sur 8 668 pour le rang 2. Voir notre article sur le second tirage.
Le nombre moyen de bons numéros
Combien de bons numéros a-t-on en moyenne ? Chacun de vos 5 numéros a 5 chances sur 49 de figurer parmi les 5 numéros tirés. En moyenne, on a donc :
5 × 5/49 = 0,51 bon numéro par grille
Ce chiffre sert de test très concret. Notre audit du hasard a vérifié, sur 2 830 tirages depuis octobre 2008, ce que donnerait une stratégie consistant à jouer les 5 numéros les plus sortis récemment : 0,516 bon numéro en moyenne. Et les 5 numéros les plus « en retard » : 0,519. Une grille au hasard : 0,510. Aucune différence au-delà des fluctuations normales. Les numéros « chauds » ou « froids » n'existent pas.
Ce que la loi hypergéométrique ne dit pas
Cette loi décrit une grille face au tirage. Elle s'applique à toute grille, quelle qu'elle soit : 1-2-3-4-5 a exactement le même tableau de probabilités qu'une autre.
Elle ne dit rien, en revanche, de la façon dont les millions de joueurs choisissent leurs grilles. Si tous jouaient au hasard, le nombre de gagnants de chaque rang suivrait directement ce tableau. Ce n'est pas le cas.
Exemple : au tirage du 4 novembre 2026, avec les numéros 18, 19, 30, 37, 40 (chance 5), il y a eu 13 805 gagnants au rang 6. Si les grilles avaient été choisies au hasard, on en aurait attendu environ 18 337. Notre modèle de la foule, qui tient compte des numéros préférés des joueurs, en prévoyait 13 780. Les joueurs avaient joué ces numéros moins souvent que le hasard : les gagnants étaient moins nombreux à se partager le rang.
À retenir
- La loi hypergéométrique compte les tirages favorables : C(5, k) × C(44, 5 − k), divisé par 1 906 884.
- 3 bons numéros : 1 sur 202 ; sans le numéro chance (rang 6) : 1 sur 224 ; avec (rang 5) : 1 sur 2 016.
- 0 ou 1 bon numéro dans 92,5 % des cas ; en moyenne 0,51 bon numéro par grille.
- Ces probabilités sont les mêmes pour toutes les grilles ; le nombre de gagnants avec qui l'on partage, lui, varie selon la popularité des numéros tirés.
