Non, un numéro en retard n'a pas plus de chances de sortir au prochain tirage. À chaque tirage du Loto, chacun des 49 numéros a exactement 5 chances sur 49 d'être tiré, soit 10,2 %, qu'il soit sorti la semaine dernière ou qu'il soit absent depuis deux mois. Les 2 830 tirages réguliers publiés depuis octobre 2008 le confirment, et les écarts mesurés restent dans les limites du hasard.
L'idée est pourtant très naturelle, et elle mérite d'être examinée sérieusement plutôt que balayée d'un revers de main.
Ce qu'on appelle un « retard »
Le retard d'un numéro, c'est le nombre de tirages écoulés depuis sa dernière sortie. Si le 17 n'est pas sorti depuis 25 tirages, on dit qu'il a 25 tirages de retard. Beaucoup de sites affichent ces retards, et l'on comprend l'intuition : sur la durée, chaque numéro sort à peu près aussi souvent que les autres, donc celui qui « traîne » devrait finir par rattraper son retard.
La première moitié de la phrase est vraie. La seconde ne l'est pas, et c'est tout le sujet de cet article.
Le test : 137 200 situations observées depuis 2008
Pour trancher, nous avons repris tous les tirages réguliers du Loto depuis le 6 octobre 2008. Avant chaque tirage (à partir du 31e, pour que les retards aient un sens), nous avons noté, pour chacun des 49 numéros, son retard du moment, puis regardé s'il sortait. Cela fait 2 800 tirages × 49 numéros = 137 200 situations. On les range ensuite par tranche de retard.
Si les numéros en retard étaient « dus », leur fréquence de sortie augmenterait avec le retard. Voici ce que l'on observe :
| Retard du numéro | Situations observées | Sorties | Fréquence de sortie | Marge normale du hasard |
|---|---|---|---|---|
| 1 à 5 tirages | 57 194 | 5 845 | 10,22 % | ± 0,25 point |
| 6 à 10 tirages | 33 328 | 3 353 | 10,06 % | ± 0,33 point |
| 11 à 20 tirages | 30 997 | 3 158 | 10,19 % | ± 0,34 point |
| 21 à 30 tirages | 10 419 | 1 105 | 10,61 % | ± 0,58 point |
| 31 tirages et plus | 5 262 | 539 | 10,24 % | ± 0,82 point |
| Valeur théorique | 10,20 % |
Toutes les lignes tournent autour de 10,2 %. La tranche 21-30 est un peu au-dessus (10,61 %), mais l'écart reste à l'intérieur de la marge que le hasard produit normalement sur un peu plus de 10 000 observations. Surtout, il n'y a aucune tendance : les numéros les plus en retard (31 tirages et plus) sortent à 10,24 %, presque exactement la valeur théorique.
Le même test sur l'ancien Loto (6 numéros sur 49, de 1976 à 2008, 4 858 tirages) donne le même résultat. La probabilité théorique y était de 6 sur 49, soit 12,24 %, et les numéros en retard de 31 tirages ou plus sont sortis à 12,90 %, dans une marge de ± 0,96 point. Ces données sont détaillées sur la page audit du hasard.
Pourquoi il y a toujours des numéros en retard
Si le retard ne « charge » rien, pourquoi voit-on régulièrement des numéros absents pendant des semaines ? Parce que c'est exactement ce que prévoit le hasard.
À chaque tirage, un numéro donné a 44 chances sur 49 de ne pas sortir, soit 89,8 %. Pour rester absent deux tirages de suite, il faut que cela arrive deux fois : 89,8 % × 89,8 %. Et ainsi de suite. On obtient :
| Absent pendant au moins… | Probabilité | Calcul |
|---|---|---|
| 10 tirages | 34,1 % | (44/49) puissance 10 |
| 20 tirages | 11,6 % | (44/49) puissance 20 |
| 30 tirages | 4,0 % | (44/49) puissance 30 |
| 50 tirages | 0,46 % | (44/49) puissance 50 |
Ce mécanisme porte un nom : la loi géométrique. Elle décrit le temps d'attente avant un événement qui a la même probabilité à chaque essai. Avec 10,2 % par tirage, l'écart moyen entre deux sorties d'un même numéro est de 49/5 = 9,8 tirages.
Comme il y a 49 numéros, ces probabilités se traduisent en nombre de numéros. À un instant donné, on s'attend en moyenne à ce que 49 × 11,6 % ≈ 5,7 numéros soient absents depuis au moins 20 tirages, et environ 2 depuis au moins 30 tirages. Voir un numéro « très en retard » n'a donc rien d'anormal : c'est la situation habituelle.
Nous avons aussi vérifié que les écarts réels entre deux sorties suivent bien cette loi. Sur les 14 101 écarts mesurés depuis 2008, 1 458 sont des sorties à deux tirages consécutifs, pour 1 439 attendus ; 27 écarts atteignent 60 tirages ou plus, pour environ 25 attendus. L'ensemble de la distribution colle à la loi géométrique (p-valeur de 0,71, c'est-à-dire aucun écart suspect).
Le sophisme du joueur
L'erreur qui consiste à croire qu'un événement devient plus probable parce qu'il ne s'est pas produit depuis longtemps porte un nom : le sophisme du joueur. Elle est universelle, et elle repose sur une confusion compréhensible.
Il est vrai qu'à très long terme, chaque numéro sort à peu près 10,2 % du temps. Mais ce rééquilibrage ne se fait pas par compensation. Il se fait par dilution. Prenons le 39, le numéro le moins sorti depuis 2008 : 261 sorties pour 289 attendues environ. Les boules ne « savent » pas que le 39 a du retard. Au fil des tirages futurs, le 39 sortira en moyenne au même rythme que les autres ; l'écart de 28 sorties ne sera pas comblé, il deviendra simplement de plus en plus petit par rapport au total. C'est le sens exact de la loi des grands nombres : l'écart en proportion se réduit, pas l'écart en nombre.
Une image aide souvent : une pièce qui vient de tomber cinq fois sur pile n'a pas plus de chances de tomber sur face au lancer suivant. Elle n'a ni mémoire ni sens de la justice. Les boules du Loto non plus.
Et les numéros « en avance » ?
Le raisonnement est symétrique. Un numéro qui vient de sortir n'a pas moins de chances de ressortir : dans le tableau, les numéros sortis il y a 1 à 5 tirages sortent à 10,22 %. Le test des répétitions va dans le même sens : le nombre de numéros communs entre deux tirages consécutifs suit exactement la loi attendue.
Ce qui compte vraiment
Le retard ne change pas vos chances. Ce qui peut changer, en cas de victoire, c'est le nombre de personnes avec qui vous partagez le gain : il dépend de la popularité des numéros cochés, pas de leur passé. Si beaucoup de joueurs suivaient les mêmes listes de retards, les numéros mis en avant deviendraient plus joués, et une grille bâtie sur eux partagerait ses gains avec davantage de gagnants. Vous pouvez mesurer la popularité estimée de votre grille avec l'outil d'analyse.
Rappelons enfin que, quelle que soit la méthode de choix, le Loto rend en moyenne moins que la mise : l'espérance de gain d'une grille à 2,20 € est inférieure à 2,20 €.
À retenir
- À chaque tirage, chaque numéro a 10,2 % de chances de sortir, quel que soit son retard.
- Sur 137 200 situations observées depuis 2008, la fréquence de sortie ne dépend pas du retard (10,24 % pour les numéros absents depuis 31 tirages ou plus).
- Les longs retards sont normaux : en permanence, près de 6 numéros sont absents depuis au moins 20 tirages.
- Le rééquilibrage à long terme se fait par dilution, jamais par rattrapage.
- Pour aller plus loin : la stratégie inverse, celle des numéros « chauds », et la fiche de chaque numéro sur la page statistiques des numéros.
