Jouer plusieurs grilles différentes multiplie la probabilité de gagner le jackpot par le nombre de grilles : avec 10 grilles, elle passe de 1 sur 19 068 840 à 1 sur 1 906 884. Mais la mise est multipliée exactement de la même façon, et l'espérance par euro misé ne change pas : la perte moyenne grandit au même rythme que la mise. Quant aux grilles qui se ressemblent, elles ne gagnent pas plus souvent en moyenne ; elles gagnent plutôt ensemble, ou perdent ensemble.
Les chances augmentent en proportion
Au Loto, une seule combinaison sort à chaque tirage. Si vous jouez 10 grilles toutes différentes, au plus une d'entre elles peut être la bonne. Les probabilités s'additionnent donc simplement :
10 grilles différentes : 10 ÷ 19 068 840 = 1 chance sur 1 906 884
C'est une augmentation réelle, mais elle part de très bas. Le tableau suivant met en regard la probabilité de jackpot, la mise et la perte moyenne attendue, pour un tirage dont le jackpot est de 5 millions d'euros (le jackpot médian depuis 2019). À ce niveau, une grille moyenne de joueur rend environ 1,29 € pour 2,20 € misés : elle perd en moyenne 0,91 €.
| Grilles par tirage | Probabilité de jackpot | Mise | Perte moyenne attendue |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 sur 19 068 840 | 2,20 € | 0,91 € |
| 2 | 1 sur 9 534 420 | 4,40 € | 1,82 € |
| 5 | 1 sur 3 813 768 | 11,00 € | 4,55 € |
| 10 | 1 sur 1 906 884 | 22,00 € | 9,10 € |
| 100 | 1 sur 190 688 | 220,00 € | 91 € |
Même avec 100 grilles par tirage, soit 220 € misés, la probabilité de gagner le jackpot reste inférieure à une chance sur 190 000.
L'espérance par euro ne change pas
L'espérance d'un ensemble de grilles est la somme des espérances de chaque grille. C'est une propriété générale des moyennes, qui ne dépend pas de la façon dont les grilles sont liées entre elles.
Si une grille rend en moyenne 59 % de sa mise, dix grilles du même type rendent en moyenne 59 % de dix mises. Le rapport entre ce que l'on récupère et ce que l'on mise reste le même ; seule la somme en jeu change. Autrement dit, jouer plus ne rend pas le jeu plus favorable : cela multiplie la perte moyenne. Le détail des taux de retour selon le jackpot est dans notre article sur le taux de retour du Loto.
La seule chose qui modifie le rendement par euro, c'est la composition de chaque grille : une grille peu jouée partage moins ses gains qu'une grille très populaire, à probabilité égale. Le nombre de grilles, lui, n'y change rien.
Un cas particulier : jouer deux fois exactement la même grille. La probabilité de gagner ne bouge pas, puisque c'est la même combinaison. Et si elle gagne un rang partagé, vos deux exemplaires se partagent la somme avec les autres gagnants, en plus de se la partager entre eux. C'est la pire façon de doubler sa mise.
Le recouvrement entre grilles
Que se passe-t-il quand plusieurs grilles ont des numéros en commun ? Prenons deux grilles A et B, et regardons la probabilité d'avoir au moins 2 bons numéros (ce qui fait gagner un rang de 1 à 8). Pour une grille seule, elle vaut 7,45 %. Nous avons calculé exactement, sur les 1 906 884 tirages possibles, ce qui arrive selon le nombre de numéros que B partage avec A.
| Numéros communs entre A et B | Au moins une des deux gagne | Les deux gagnent | Nombre moyen de grilles gagnantes |
|---|---|---|---|
| 0 (10 numéros différents) | 14,7 % | 0,2 % | 0,149 |
| 2 | 13,2 % | 1,7 % | 0,149 |
| 4 | 10,0 % | 4,9 % | 0,149 |
Le nombre moyen de grilles gagnantes est le même dans les trois cas : 2 × 7,45 %. Ce qui change, c'est la répartition :
- avec des grilles sans numéro commun, on gagne un peu plus souvent, mais rarement sur les deux grilles à la fois ;
- avec des grilles qui se recouvrent, on gagne moins souvent, mais quand on gagne, c'est plus souvent sur les deux.
Le recouvrement ne crée donc ni ne détruit de chances : il les regroupe. C'est exactement ce que font les systèmes réducteurs et les grilles multiples, qui reposent sur de nombreuses combinaisons partageant les mêmes numéros. Ils réorganisent les gains possibles sans changer l'espérance par euro (voir notre article sur les systèmes réducteurs).
Même logique avec le numéro chance. Jouer 10 grilles avec les mêmes 5 numéros et les 10 numéros chance possibles donne une probabilité de jackpot de 1 sur 1 906 884, identique à celle de 10 grilles toutes différentes. Mais dans le premier cas, soit les 5 numéros sortent et vous gagnez à la fois le rang 1 et neuf fois le rang 2, soit aucune de vos grilles n'a 5 bons numéros : tout est concentré sur une seule combinaison de numéros.
Et sur la durée ?
Jouer plusieurs grilles à chaque tirage revient, mathématiquement, à jouer une grille pendant plusieurs fois plus longtemps : les probabilités et les pertes moyennes s'additionnent de la même manière. Dix grilles par tirage pendant un an, c'est, à très peu de chose près, comme une grille par tirage pendant dix ans. Nous avons calculé ce que donne une vie entière de jeu dans notre article dédié.
Si vous jouez déjà, remplacez plutôt qu'ajouter
Les mathématiques ne disent pas qu'il faut jouer ; elles disent seulement ce que coûte chaque choix. Si vous jouez déjà, la seule manière d'améliorer le rendement de votre mise n'est pas d'ajouter des grilles, mais de remplacer celles que vous jouez par des grilles moins jouées, à budget constant. Vos chances restent les mêmes, mais vos gains, si vous gagnez, sont moins partagés.
Et quel que soit le nombre de grilles, le plus important reste de fixer un budget à l'avance et de s'y tenir. Voir à ce sujet notre page jeu responsable.
À retenir
- k grilles différentes : probabilité de jackpot multipliée par k (10 grilles : 1 sur 1 906 884).
- La mise et la perte moyenne sont multipliées par k aussi : l'espérance par euro ne change pas.
- Des grilles qui se recouvrent ne gagnent pas plus en moyenne ; elles regroupent les gains (plus souvent tout ou rien).
- Jouer deux fois la même grille n'augmente pas les chances et partage davantage les gains.
- Pour améliorer le rendement de sa mise, il vaut mieux remplacer ses grilles qu'en ajouter.
