Oui, et c'est même fréquent : depuis 2008, dans 42,3 % des cas, au moins un numéro d'un tirage du Loto est ressorti au tirage suivant. Le calcul exact prévoit 43,05 %. Près d'une fois sur deux, donc, un numéro « qui vient de sortir » ressort aussitôt. L'intuition selon laquelle un numéro tout juste tiré ne ressortira pas de sitôt est démentie par les chiffres : il garde 5 chances sur 49 d'être tiré, comme les autres.
Une intuition très répandue
Beaucoup de joueurs écartent de leur grille les numéros du dernier tirage. Le raisonnement implicite : le hasard « répartit » les numéros, donc celui qui vient de sortir doit laisser la place aux autres. C'est le miroir exact de la croyance aux numéros en retard, selon laquelle un numéro absent depuis longtemps serait « dû ».
Les deux idées reposent sur la même erreur : supposer que la machine se souvient. Or les boules sont remélangées à chaque tirage. Un numéro tiré lundi a, mercredi, exactement la même probabilité que les autres d'être tiré : 5 sur 49, soit 10,2 %.
Ce que montrent 2 901 enchaînements
Depuis le 6 octobre 2008, 2 902 tirages à 5 numéros se sont succédé, tirages spéciaux compris, ce qui fait 2 901 couples « tirage, tirage suivant ». Pour chacun, nous avons compté combien de numéros étaient communs aux deux.
| Numéros répétés d'un tirage au suivant | Observé | Attendu | Probabilité théorique |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 674 | 1 652,2 | 56,95 % |
| 1 | 990 | 1 032,6 | 35,59 % |
| 2 | 220 | 201,5 | 6,95 % |
| 3 | 17 | 14,4 | 0,50 % |
| 4 | 0 | 0,33 | 0,012 % |
| 5 | 0 | 0,0015 | 0,000 05 % |
Au moins un numéro s'est répété dans 1 227 cas sur 2 901, soit 42,3 %. Le calcul prévoit 1 248,8 cas. L'écart, environ 22 cas, est inférieur à l'écart-type de la loi binomiale (26,7 cas) : rien d'anormal.
Deux numéros répétés arrivent environ une fois sur quatorze. Trois numéros répétés, 17 fois depuis 2008, pour 14,4 attendues. Le dernier cas en date : le tirage du 27 mars 2023 (1-11-23-34-41) suivi de celui du 29 mars 2023 (1-11-14-32-34), avec le 1, le 11 et le 34 en commun.
Le calcul : 1 − C(44,5) / C(49,5)
Comme souvent, il est plus simple de calculer le contraire : la probabilité qu'aucun numéro ne se répète.
Le tirage précédent a mis de côté 5 numéros. Pour qu'aucun ne ressorte, les 5 numéros du nouveau tirage doivent tous être choisis parmi les 44 autres. Le nombre de combinaisons possibles dans ce cas est C(44,5), le nombre de façons de choisir 5 numéros parmi 44. On le compare au nombre total de combinaisons, C(49,5) :
C(44, 5) = 1 086 008
C(49, 5) = 1 906 884
Aucun numéro répété : 1 086 008 / 1 906 884 = 56,95 %
Au moins un numéro répété : 1 − 56,95 % = 43,05 %
Ce résultat se comprend aussi intuitivement. Chacun des 5 numéros du tirage précédent a 10,2 % de chances de ressortir. Cinq fois 10,2 %, cela fait 51 % : c'est le nombre moyen de numéros répétés par tirage (0,51). La probabilité d'en avoir au moins un est un peu plus faible, 43 %, parce que certains tirages en répètent deux ou trois d'un coup.
Les autres lignes du tableau se calculent de la même façon, avec la loi hypergéométrique. Par exemple, pour exactement 2 numéros répétés, on choisit 2 numéros parmi les 5 de l'ancien tirage et 3 parmi les 44 autres : C(5,2) × C(44,3) / C(49,5) = 10 × 13 244 / 1 906 884 = 6,95 %.
Les numéros qui sortent plusieurs fois de suite
On peut pousser la question plus loin : combien de fois un même numéro est-il sorti trois, quatre ou cinq tirages d'affilée ?
| Série de sorties consécutives d'un même numéro | Observé depuis 2008 | Attendu (environ) |
|---|---|---|
| 3 tirages ou plus | 138 | 135,6 |
| 4 tirages ou plus | 12 | 13,8 |
| 5 tirages | 4 | 1,4 |
Quatre numéros sont sortis cinq tirages de suite : le 48 en juin 2010, le 20 du 23 mars au 1er avril 2015, le 37 en septembre 2017 et le 23 en mai 2018. Aucun n'est allé jusqu'à six.
Les séries de trois et de quatre collent à la théorie. Les séries de cinq sont un peu plus nombreuses que prévu : 4 pour 1,4 attendues. Un tel excédent se produit par hasard environ une fois sur vingt. C'est donc le genre d'écart qu'on finit toujours par trouver quand on examine beaucoup de statistiques à la fois, comme nous le faisons dans cette série de curiosités. Les tests globaux sur les répétitions, publiés dans l'audit du hasard, ne montrent aucune anomalie.
Une question de vocabulaire
Pourquoi l'intuition résiste-t-elle autant ? En partie parce que l'on confond deux questions.
« Le 20 va-t-il sortir cinq fois de suite ? » La réponse, posée d'avance pour un numéro précis, est presque toujours non : environ 1 chance sur 89 000.
« Un numéro quelconque va-t-il sortir cinq fois de suite, quelque part dans 18 ans de tirages ? » La réponse est : probablement oui. Le calcul en prévoit environ 1,4.
C'est la même confusion que pour les tirages ayant 4 numéros en commun ou pour les combinaisons sorties deux fois : un événement rare pour un cas précis devient courant quand on regarde tous les cas.
Ce que cela change pour une grille
Écarter les numéros du dernier tirage ne change rien à vos chances : votre grille garde 1 chance sur 19 068 840 de gagner le rang 1. Les inclure volontairement non plus. Le test des retards de Roboloto, mené sur chaque tirage régulier depuis 2008, montre que les numéros sortis il y a 1 à 5 tirages ressortent à 10,22 %, pour 10,20 % en théorie.
Ce qui peut varier, c'est le nombre de joueurs qui ont fait le même choix que vous, et donc le partage des gains en cas de victoire. Mais l'espérance de gain d'une grille reste inférieure à sa mise de 2,20 €.
À retenir
- Dans 42,3 % des cas depuis 2008, au moins un numéro est ressorti au tirage suivant ; le calcul prévoit 43,05 %.
- Le calcul : aucun numéro répété signifie 5 numéros pris parmi les 44 autres, soit C(44,5) / C(49,5) = 56,95 % ; d'où 43,05 % pour au moins un.
- Trois numéros répétés d'un tirage au suivant : 17 fois, pour 14,4 attendues.
- Un numéro qui vient de sortir n'est ni « grillé » ni « chaud » : il garde 10,2 % de chances au tirage suivant.
