Deux tirages du Loto qui partagent 4 de leurs 5 numéros, cela paraît une coïncidence remarquable. Il y en a pourtant eu 497 depuis 2008, et le calcul en prévoyait 485,6. Pour deux tirages précis, la probabilité est faible, 1 sur 8 668. Mais 2 902 tirages forment plus de 4,2 millions de paires de tirages, et à cette échelle, des centaines de coïncidences sont inévitables. C'est le paradoxe des anniversaires, et il ne permet de rien prédire.
Un exemple frappant
Le 13 juin 2009, le Loto tire 16-24-28-39-46. Cinq mois plus tard, le 14 novembre 2009, il tire 16-24-28-39-47. Quatre numéros identiques, et le cinquième qui ne diffère que d'une unité.
Autre cas : le 15 décembre 2008 sort 2-5-15-27-48, et une semaine plus tard, le 22 décembre 2008, 2-5-27-35-48. Seuls trois tirages séparent ces deux combinaisons qui ont 4 numéros en commun : c'est le cas le plus rapproché depuis 2008.
Ces coïncidences frappent parce qu'on les remarque. Mais combien faut-il en attendre ?
La probabilité pour deux tirages donnés
Prenons deux tirages. Quelle est la probabilité qu'ils aient exactement 4 numéros en commun ? Le premier tirage fixe 5 numéros. Pour que le second en partage exactement 4, il doit reprendre 4 de ces 5 numéros (5 façons de les choisir) et prendre son cinquième numéro parmi les 44 autres (44 façons) :
Combinaisons ayant exactement 4 numéros en commun avec un tirage donné : 5 × 44 = 220
Probabilité : 220 / 1 906 884 ≈ 1 sur 8 668
C'est exactement la probabilité, pour un joueur, de trouver 4 bons numéros sur 5, rangs 3 et 4 réunis. Rejouer une ancienne combinaison gagnante revient d'ailleurs à cela : elle a 1 chance sur 8 668 d'avoir 4 numéros en commun avec le prochain tirage, comme n'importe quelle grille.
Le paradoxe des anniversaires
Si la probabilité est si faible, pourquoi des centaines de cas ? Parce qu'on ne compare pas deux tirages : on les compare tous entre eux.
Avec 2 902 tirages depuis le 6 octobre 2008, le nombre de paires de tirages possibles est :
2 902 × 2 901 / 2 = 4 209 351 paires
Chacune a 1 chance sur 8 668 de donner exactement 4 numéros en commun. Le nombre attendu de coïncidences est donc :
4 209 351 × 220 / 1 906 884 ≈ 485,6
On en observe 497. L'écart, environ 11, est d'un demi écart-type environ : la théorie est parfaitement vérifiée.
C'est le même mécanisme que celui du paradoxe des anniversaires : dans une classe de 23 élèves, il y a plus d'une chance sur deux que deux élèves partagent leur jour d'anniversaire, parce que 23 élèves forment 253 paires. Notre article sur la même combinaison sortie deux fois détaille ce paradoxe et l'applique aux combinaisons complètes. Ici, nous l'appliquons aux coïncidences partielles, beaucoup plus nombreuses.
Toutes les coïncidences, de 0 à 5 numéros
On peut faire le même calcul pour chaque nombre de numéros en commun, avec la loi hypergéométrique, et le comparer aux 4 209 351 paires de tirages réelles :
| Numéros en commun | Paires de tirages observées | Paires attendues | Probabilité pour une paire |
|---|---|---|---|
| 0 | 2 399 569 | 2 397 308 | 1 sur 1,76 |
| 1 | 1 495 658 | 1 498 318 | 1 sur 2,8 |
| 2 | 292 631 | 292 355 | 1 sur 14,4 |
| 3 | 20 994 | 20 882 | 1 sur 202 |
| 4 | 497 | 485,6 | 1 sur 8 668 |
| 5 | 2 | 2,2 | 1 sur 1 906 884 |
L'accord est remarquable sur toute la ligne. Plus d'une paire de tirages sur deux n'a aucun numéro en commun ; environ une sur 200 en partage trois.
La dernière ligne correspond aux deux combinaisons sorties deux fois depuis 2008. Elles sont racontées dans l'article qui leur est consacré ; nous ne les détaillons pas ici. Ajoutées aux 497 cas à 4 numéros, elles donnent 499 paires ayant au moins 4 numéros en commun, pour 487,8 attendues.
Plus d'une chance sur quatre d'avoir un « presque jumeau »
Voici une autre façon de voir le phénomène. Aujourd'hui, chaque nouveau tirage est comparé aux 2 901 tirages qui l'ont précédé depuis 2008. La probabilité qu'il ait au moins 4 numéros en commun avec l'un d'eux vaut :
1 − (1 − 221 / 1 906 884) puissance 2 901 ≈ 28,6 %
Le chiffre 221 compte les 220 combinaisons à 4 numéros communs, plus la combinaison identique. Plus d'un tirage sur quatre, aujourd'hui, a donc un « presque jumeau » dans l'historique récent. Au début de la période, cette proportion était bien plus faible, faute de tirages antérieurs. Au total, 444 tirages depuis 2008 avaient au moins un prédécesseur à 4 numéros communs, pour environ 437 attendus.
Trois tirages détiennent le record du nombre de « presque jumeaux » : ceux du 25 août 2010 (19-23-36-39-49), du 1er mars 2014 (4-5-15-17-20) et du 11 janvier 2016 (14-19-29-41-43), qui ont chacun 4 numéros en commun avec quatre autres tirages de la période.
En revanche, deux tirages consécutifs n'ont jamais eu 4 numéros en commun depuis 2008. Le calcul n'en prévoyait que 0,33 sur toute la période. La question des numéros qui se répètent d'un tirage au suivant est traitée dans l'article sur le même numéro au tirage suivant.
Ce que ces coïncidences ne disent pas
Ces 497 paires de tirages ne révèlent aucune structure cachée. Elles ne signifient pas que certaines combinaisons « reviennent », ni qu'une combinaison sortie récemment a plus de chances de réapparaître en partie. Chaque tirage est indépendant des autres : la combinaison du 14 novembre 2009 avait exactement la même probabilité d'être tirée, que le tirage du 13 juin ait existé ou non.
Le paradoxe des anniversaires ne prédit qu'une chose : qu'il y aura des coïncidences, quelque part, en nombre prévisible. Il ne dit jamais lesquelles. Pour un joueur, il n'y a donc rien à en tirer : chaque grille garde 1 chance sur 19 068 840 de gagner le rang 1, et son espérance reste inférieure à sa mise de 2,20 €.
À retenir
- Depuis 2008, 497 paires de tirages ont exactement 4 numéros en commun, pour 485,6 attendues.
- Pour deux tirages donnés, la probabilité est de 1 sur 8 668 ; mais 2 902 tirages forment 4 209 351 paires.
- Toutes les coïncidences, de 0 à 5 numéros en commun, suivent la loi hypergéométrique.
- Aujourd'hui, chaque nouveau tirage a environ 28,6 % de chances d'avoir au moins 4 numéros en commun avec l'un des tirages précédents depuis 2008.
- Ces coïncidences sont prévisibles en nombre, jamais en contenu.
