Combien de tirages pour voir sortir les 49 numéros du Loto ?

Il faut en moyenne 42,5 tirages du Loto pour voir sortir chacun des 49 numéros au moins une fois, soit environ trois mois à trois tirages par semaine. Depuis 2008, l'historique compte 67 de ces « cycles » complets, d'une durée moyenne de 43,0 tirages : la théorie est respectée. Le cycle le plus court a duré 27 tirages, en 2015 ; le plus long 101 tirages, en 2022. Ces deux extrêmes sont, eux aussi, dans ce que le hasard produit.

Qu'est-ce qu'un cycle ?

Partons d'un tirage donné et notons les numéros qui sortent, tirage après tirage. Au début, presque chaque numéro tiré est nouveau. Puis les nouveautés se raréfient : il faut attendre les derniers numéros manquants. Le cycle est bouclé quand les 49 numéros sont tous sortis au moins une fois. On recommence alors un nouveau cycle au tirage suivant.

Avec 5 numéros par tirage, il faut au minimum 10 tirages pour boucler un cycle (9 tirages ne donnent que 45 numéros). En pratique, cela n'arrive jamais : le hasard répète des numéros bien avant d'avoir épuisé tous les autres.

Le graphique ci-dessous montre la durée de chacun des 67 cycles complets depuis 2008.

Le calcul, version simple : une boule à la fois

Ce problème est un classique des probabilités : le problème du collectionneur. Imaginez une collection de 49 images, et des pochettes contenant chacune une image au hasard. Combien de pochettes faut-il ouvrir pour compléter l'album ?

Raisonnons étape par étape, en tirant une seule boule à la fois, remise dans l'urne après chaque tirage :

• La première boule est forcément nouvelle : 1 tirage.
• Quand on a déjà vu 1 numéro, une boule est nouvelle avec la probabilité 48/49. Il faut en moyenne 49/48 tirages pour en obtenir une.
• Quand on en a vu 10, la probabilité d'un nouveau numéro tombe à 39/49 : il faut en moyenne 49/39 tirages, soit 1,26.
• Quand il ne manque plus qu'un numéro, la probabilité de le tirer est de 1/49 : il faut en moyenne 49 tirages pour le dernier, à lui seul.

En additionnant toutes ces attentes, on obtient :

49/49 + 49/48 + 49/47 + … + 49/2 + 49/1
= 49 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/49)
= 49 × 4,479 ≈ 219,5 boules

Le dernier numéro coûte à lui seul 49 boules en moyenne, et les cinq derniers plus de la moitié du total. C'est ce qui rend la fin d'un cycle si longue.

Ce que change le tirage de 5 numéros

Le Loto ne tire pas une boule à la fois : il en tire 5 à chaque tirage, toutes différentes. Diviser 219,5 boules par 5 donne une première estimation de 43,9 tirages.

Le vrai chiffre est un peu plus bas, pour une raison simple : à l'intérieur d'un même tirage, une boule ne peut pas sortir deux fois. Dans la version « une boule à la fois », on gaspille parfois une boule sur un numéro qu'on vient de voir ; dans un tirage de 5 numéros distincts, ce gaspillage est impossible au sein du tirage. Le calcul exact, qui demande une formule dite d'inclusion-exclusion, donne :

Nombre moyen de tirages pour voir les 49 numéros : 42,47

Ce même calcul donne aussi la répartition complète des durées : la durée la plus fréquente est 37 tirages, la médiane 40. Un cycle de 27 tirages ou moins arrive avec une probabilité de 4,8 % ; un cycle de 101 tirages ou plus, avec une probabilité d'environ 0,1 %.

On peut aussi suivre le nombre moyen de numéros encore manquants au fil d'un cycle. Après t tirages, chaque numéro a la probabilité (44/49) puissance t de n'être jamais sorti :

Au bout de 20 tirages, il manque encore environ six numéros ; au bout de 30, environ deux. La dernière partie du cycle se joue sur une poignée de numéros.

Les 67 cycles depuis 2008

Le cycle le plus court s'est achevé le 18 mars 2015, quand le 10 et le 15, les deux derniers numéros manquants, sont sortis ensemble. Un cycle aussi court n'a que 4,8 % de chances de se produire à un moment précis. Mais sur 67 cycles, la probabilité qu'au moins un dure 27 tirages ou moins est d'environ 96 %. Le contraire aurait été surprenant.

Le cycle le plus long est d'une autre nature. Commencé le 2 mars 2022, il comptait déjà 48 numéros sur 49 dès le 7 mai, au bout de 30 tirages. Il manquait un seul numéro : le 19. Il a fallu attendre 71 tirages de plus, jusqu'au 10 octobre 2022, pour le voir revenir. Ce cycle record est en fait l'autre face d'un autre record : la plus longue absence d'un numéro depuis 2008, celle du 19, absent 119 tirages.

Ce que dit la simulation

Le cycle de 101 tirages est-il anormal ? La simulation de Roboloto, qui rejoue 2 000 historiques de 2 902 tirages parfaitement aléatoires, répond :

• le cycle le plus long d'un historique dure 80 tirages en médiane ;
• dans 90 % des historiques, il dure entre 66 et 103 tirages ;
• 7 % des historiques contiennent un cycle d'au moins 101 tirages.

Le record de 2022 est donc dans le haut de la fourchette, mais à l'intérieur. Le calcul direct donne le même ordre de grandeur : avec 67 cycles ayant chacun environ 0,1 % de chances de durer 101 tirages ou plus, la probabilité qu'au moins un y parvienne est d'environ 6,7 %.

Le cycle en cours

Le cycle actuel a commencé le 23 septembre 2026. Au 4 novembre 2026, après 19 tirages, il manque encore 7 numéros : 5, 11, 12, 23, 27, 41 et 43. Le calcul en prévoyait 6,3 en moyenne à ce stade : rien d'inhabituel.

Ces numéros manquants ne sont pas « dus » pour autant. À chaque tirage, chacun a 10,2 % de chances de sortir, ni plus ni moins que les numéros déjà vus. C'est la leçon des numéros en retard : le cycle se bouclera, mais personne ne peut dire quand, ni par quel numéro.

À retenir

• Il faut en moyenne 42,47 tirages pour voir sortir les 49 numéros ; 43,03 ont été observés sur 67 cycles depuis 2008.
• Le calcul s'inspire du problème du collectionneur : le dernier numéro coûte à lui seul 49 boules en moyenne, presque deux fois plus que les vingt premiers réunis (environ 25 boules).
• Le cycle le plus court a duré 27 tirages (2015), le plus long 101 (2022) ; 7 % des historiques aléatoires contiennent un cycle aussi long.
• Les numéros manquants d'un cycle n'ont pas plus de chances de sortir que les autres.